Formes Quadratiques - Algèbre Bilinéaire
Définition de l'espace dual
Définition 2.1 : Soit E un espace vectoriel. Une forme linéaire sur E est une application linéaire de E dans son corps de base K.
Proposition 2.2 : L’espace dual E* est un espace vectoriel de dimension n...
Formes Bilinéaires Symétriques
Définition 2.3 : Soient E et F deux espaces vectoriels. Une application bilinéaire φ...
Exemple 2.4 : Sur l’ensemble des réels, (x, y) → xy est une forme bilinéaire...
Définition 2.5 : Une forme bilinéaire φ sur E est dite symétrique si φ(x, y) = φ(y, x).
Proposition 2.6 : L’application qui à une forme bilinéaire symétrique φ associe la forme quadratique x ↦ φ(x, x) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Produits Scalaires Réels
Définition 2.8 : Une forme bilinéaire symétrique φ est dite positive si ∀x ∈ E, φ(x, x) ≥ 0.
Proposition 2.9 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) : Soient φ une forme bilinéaire symétrique positive et Q la forme quadratique associée. Alors, |φ(x, y)| ≤ √Q(x)√Q(y).